오늘 오후는 이 문제로 조금 머리가 아픕니다. 고3 수험생에게 물어보면 금방 답이 나올것 같지만(글쎄),
대학의 물리책인 광학(optics),800페이지,2002년)을 봐도 속이 안풀립니다.
여러분도 한번 종이에 그려보세요?, 검색해서 찾아주셔도 좋구요.
수학강사 회원에게 22시40분에 전화해서 풀어달라고는 했습니다.
ps 차정원님, 오랫만에 글을 남겨줘서 반가왔었습니다. 유리가 산의 혼합물에서는 녹는다는 이야기에
참 다행이라고 생각했습니다. 금은 왕수에 녹는다는 이야기가 생각나더군요. 녹일 금은 없지만.
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-야후 백과사전에서 인용-
포물선(망원경은 포물면이지요, 선을 연장하면 면이 되니까 포물선으로 계산해도 되지요)
요약
평면 위에서 한 점 F와 한 직선에서부터 거리가 같은 점이 그리는 도형.
설명
평면 위에서 한 점 F와 한 직선 에서부터 거리가 같은 점이 그리는 도형. F를 초점, d를 준선이라 한다. F를 지나 d에 수직인 직선은 포물선의 대칭축이 된다. 이 직선을 포물선의 축이라 하며, 축과 포물선의 교점을 포물선의 꼭지점이라 한다. 꼭지점을 원점으로 하고 축을 x축으로 하는 〔그림 1〕과 같은 직교좌표계에서는, 초점과 준선 사이의 거리가 2a인 포물선은 방정식 y2＝4ax로 표시된다. 2차식 y＝ay2＋bx＋c의 그래프는 포물선이며, 중력의 영향하에서 연직 이외의 방향으로 던져진 질점은 포물선을 그린다. 공간에서 직선 m을 그것과 만나는 직선 주위로 회전시켰을 때 생기는 곡면을 원뿔면이라고 하는데, l과 m의 교점을 지나지 않고 m에 평행한 평면 π에서 원뿔면을 자르면 단면은 포물선이 된다. 이 의미에서 포물선은 원뿔곡선의 일종이다. 이 경우 π와 1점에서 접하고 원뿔면과 원에서 접하는 구면을 취하면, π와 접점이 포물선의 초점이 되고 원의 평면과 π와의 교선이 준선이 된다〔그림 2〕
포물선상의 점 P 에서 접선은 초점 F를 와 P잇는 직선 및 P를 지나 축에 평행한 직선과 같은 각을 이루며, 따라서 축에 평행한 광선이 포물선 모양의 거울에 비춰지면 모두 초점에 모인다〔그림 3〕.
포물선상의 두 점 P,Q를 잇는 선분PQ 와 포물선이 싸는 도형의 넓이는 PQ에 평행한 포물선의 접선의 접점을 R이라 할 때, 삼각형 PQR면적의 4/3와 같다〔그림 4〕.
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7월10일 오후에 증명은 못했고, 그 대신 여러 값( X=,0,1,2,3)을 집어넣어서 촛점에 모아지는 것을 미약하나마 설명할수 있었습니다. 제가 풀은 과정은 3일후에 알려드립니다. 그 동안에 여러분들이 풀어주세요. 증명하여 주시면 제가 한턱 쏩니다. 자유게시판에 글을 못 올리시면 방명록에 글을 써주시고 저에게 메일로 주시면 제가 대신 올려들릴께요.
제가 이해하고 설명한 방법을 힌트만 드린다면,
0. X축과 Y축을 그리고 바로선 빗살무늬토기모양으로 그리고, X축에 1,2,3 눈금을 그리고, Y=1위치(X=0)를 촛점으로 하는 포물선(밑의 직선(준선)은 Y=-1)을 그리고.
1. 평면에서의 입사각은 반사각과 같다는 반사법칙,
2. 직각삼각형의 코사인(싸인)값은 높이/밑변, 계산기는 컴퓨터내의 보조프로그램의 공학용 게산기로 소수점 2자리까지.
3. 함수의 미분은 기울기.
7월10일 21시45분.
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하나더 <아주> 중요한것이 있네요. 바로 광 경로의 길이가 모두 같아야 됩니다. 즉 위상이 같아야 된다는 겁니다.
중앙으로 오는 빛과 옆으로 오는 빛 모두 촛점에 모일때 까지의 총 거리가 같아야 됩니다. 이것도 검증해 보겠습니다.
7월10일 22시 29분.
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아무리 생각해도 너무 너무 너무 너무 신기합니다.
수평으로 던진 자유낙하가 포물선을 그린다는것은 놀랍지만 그냥 이해 할 만 하지만(놀랍지만),
포물선이란 것이 그냥 점과 선분의 1:1이라는 아주 단순한 작도(그림)에 불과한데(원,타원,쌍곡선등도 경외감이 듭니다)
그 단순한 그림에 왜 이리 정확한 목적?이 숨어 있습니까?
ps.정확한 목적이라고 제가 표현을 했습니다만 수학적 증명이 되어야 맞는 말이지요.
누가 포물선 증명를 보여줄까라는 연락을 하면, 그때가 맑은 밤의 16인치 개시를 한다해도 증명을 따라가겠습니다^^
7월11일 18시 47분.
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오늘 오전에는 조정래씨, 오후에는 황준호씨와 통화를 했습니다.
이 문제로 통화를 합니다. 즐겁지 않나요?
황준호씨가 ktx에서 저에게 전화하면서 종이에 x춗과 y축을 그리라고 합니다.
전화로는 메일 주소도 제대로 받기가 힘든데, 전화로 증명방법을 설명한데나요.
아무튼 전화로 이해를 했습니다. 한가지 접선의 방정식 부분에서는 이해를 못하고 식만 받아썼습니다.
밤(1시간 전)에는 문자로 그 식(직선 방정식)의 도출을 설명해달라고 보냈습니다.
위상의 같아야 된다고 제가 이야기를 하니까 황준호씨도 그동안 그 문제는 생각하지 못한 모양입니다.
별을 보고, 수학을 이야기할 친구가 있으니 차암 좋습니다.
포물선은 이제 정리가 되어가는것 같습니다. 그러다 보니까 욕심이 생김니다(바로 10분전에).
그것은
--지구는 거의 원으로[이심율이 거의 0입니다. 태양계의 다른 행성을 보세요]돕니다만 그래서 원이
아니고 타원입니다. 케플러님이 찾아낸거지요-- 원일때와 타원일때와는 큰 차이가 있습니다.
원이라면 지구가 태양을 도는 괘도는 매년 같습니다.
타원이라도 지구가 태양을 도는 괘도는 매년 같습니다.
그런데 지구가 타원괘도를 돌면서 매년 같은 괘도를 다니지는 않을것 같습니다.
타원은 2점을 기준으로 괘도를 가집니다. 만약 매년 같은 괘도를 다니다면 태양말고 다른 1점은
특별한 위치(물체가 없으니까)로 대접을 받아야 하겠지요. 그런데 이 위치에 대한 아무런 정보를
제가 가지고 있지 않습니다. 아마 이 특별한 위치가 함수는 아닐까요라는 생각이 듭니다.
아직은 아무런 자료가 없이 위의 글에 있는 대로의 상식입니다만 궁금합니다.
혹시 2만년에 한번씩 북극성이 바뀌는 세차와 연관이 있을까요?
아니라면 몇년후에 제2의 점이 다시 그자리로 올까요?
잠안오는 홍두희 2005년 7월13일 0시23분.
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위상을 생각하다가 또 생각할것이 생깁니다.
위상이 같을때를 고려할때는 2차원으로 만족할것이 아니라 3차원으로 만족해야 합니다.
그리고 이때에는 포물선이 아니라 포물면으로 완전히 바꾸어야 합니다.
접선도 접면(이런 말이 있나?)이어야 하고요.
광선이 편광일때는 포물면에서 어떻게 반사가 될것인가도 생각하게 됩니다.
이렇게 생각 날때마다 줄줄이 달아 놓는 이유는 시간이 지나면 잊어먹기 때문입니다.
요며칠 '인간 등정의 발자취, 제이콥 브로노우스키 저(1973년), 바다출판사(2004년),500쪽'를
봅니다. 과학사에 관심이 계신분은 보세요.
7월14일 1시17분.
