포물면(선)의 촛점 - 경로와 거리.
명제:포물면거울에 축과 평행한 빛(횡파)이 입사되면 촛점에 입사된 빛이 모아집니다.
서로 다른면에 반사된 빛이 어떤 특정위치(촛점)에서 간섭없이 모아지려면 2가지가
충족되어야 합니다.
A. 서로 다른면에 입사된 광선을 모두 그곳(촛점)으로 반사해야 합니다.
B. 광원으로 부터 시작해서 서로 다른 반사면에 반사되서 촛점으로 가기까지의
거리가 모두 같아야(즉 위상이 같아야)합니다. ( 보충설명 1 )
A.
구면거울은 구면수차가 있다고 합니다.
구면에 입사된 평행광선은 '구면의 중심에서 반사된 경로'와 '구면의 중심에서 떨어진
곳에서 반사된 경로'가 틀려서 빛을 한곳에 모을수가 없습니다. 이것의 이해는 수학을
조금만 이용하면 알 수 있습니다. 어느정도가 틀리냐를 알고싶을때에는 수학을 많이
써야 겠지요. 구면의 중심에서 45도의 각도로 작도를 하면 45도 위치의 구면에서는
다시 구면의 중심으로 반사를 합니다. 이때 반사는 구면의 접선에서 반사가 이루어지며
접선에 수직으로 입사가 되었으므로 다시 수직으로 반사가 됩니다.
이때 평행광이 45도 위치의 구면에 입사하면 이때의 접선의 기울기가 1이므로 반사는
수직으로 밑으로 됩니다.(그림 1)
평행 입사광이 구면의 중심에서 60도 떨어진 구면으로 들어온다면 접선과는 30도의
각도를 가지며 점C 로 반사됩니다. 코사인60도는 1/2 로 알고 있으니까 삼각형OAB 와
삼각형CAB 가 같은모양이 되는것으로 점C 의 위치를 알수있습니다 (그림 2).
45도 위치와 60도 위치의 서로다른 위치에서의 입사광은 위와같이 서로 다른곳으로
빛이 반사가 되서 빛을 모을수가 없습니다.
<<고민해보세요1>> 가시광선영역에서 어느정도의 이상적인광학계(파장,구경,촛점거리)
에서 이와 같은 오차가 무시될수 있을까요?
05년7월10일 21시경에는 이 명제를 증명하지는 못했지만 이해할수 있을정도의 작도와
계산을 했습니다. (그림 4,5,6,7)
그 방법을 설명하면
1.평면(직선)에서의 입사각은 반사각과 같다는 반사법칙을 적용했고,
2.직각감각형의 코사인(싸인)값은 높이/밑변, 게산도구는 PC내의 공학용 게산기 이용,
3.함수를 한번 미분하면 그 곡선의 그 값에서의 기울기 라는 것으로 계산했습니다.
(그림 3)은 X의 제곱은 4PY 라는 포물선을 포물선의 정의로 부터 작도한 것입니다.
(그림 4)는 X=0,1,2,3 을 위의 함수에 넣은 각 점에서의 접선의 기울기입니다.
X=0 일때에 포물선에 접하는 접선의 기울기는 0이고,
X=2 일때에 포물선에 접하는 접선의 기울기는 1이되네요.
(그림 4)를 그린 이유는 이 그림으로 X=1,2,3에서 촛점(P)와 입사된 평행선의 관계
(즉 입사된 평행선은 모두 P에 모인다)를 그리기 위함입니다.
(그림 5)는 X=1 위치에서의 접선의 기울기는 1/2이고, X=1이니까 B=1/4가 되고,
각 BAA'는 계산기로(탄젠트 26.57도 = A'B(1/2)/AB(1)) 26.57도를 알수있고,
각 PAB 는 같은 방법으로 36.87도임을 알 수 있습니다. 점 P에서 A 에 입사된 직선은
반사의 법칙에 따라서 26.57도 + 36.87도 = 63.44 의 각도로 입사되므로 반사각은
입사각과 같은 63.44도가 됩니다. 접선은 26.57도로 기울어져 있으므로 반사각은
26.57도 + 63.44 = 90.01도가 되고 90도(수직)으로 반사됨을 알수 있습니다.
(그림 6)은 X=2 일때의 그림, (그림 7)은 X=3일때의 그림 입니다.
서천동 회원인 황준호씨가 증명한 방법이 (그림 8)에 있습니다.
접선이 X 축에서 만나는(Y=0)곳인 H와 P의 거리가 P와 A의 거리가 같아서
삼각형 HPA가 이등면삼각형이 되는것이 포인트 입니다. 포물선의 접선의 일반해인
Y1Y = 2P(X+X1)을 이해 해야만 되지만 이 증명방법은 고등학교 수학책에 분명히
있으니까 참조하십시요(그림 8의 설명속의 (*1)) 포물면 상의 임의의 점 X1,Y1에
접하는 접선이 Y=0 일때에는 X=-x 이 되고(포물선 접선의 일반해), 선분AP는
삼각형PAx1이 직각삼각형이니까 식을 전개할수 있습니다. 그리고 선분PH의 길이는
P+x1 가 됨을 그림을 보면 알수 있습니다. 선분AP의 제곱과 선분HP의 제곱이 같으니까
AP=HP가 되서 삼각형APH가 이등변 삼각형이 되며, A에 입사되는 X축에 평행한 직선D'
를 그리면 각A"AD' = 각AHP가 되고, 평행한 직선 D'은 접선과는 각A"AD'를 가집니다.
반사법칙에 의하여 각A'AP=각A"AD'이 되는데 이로서 직선D'은 P에 오게됩니다.
B.
바로 몇십분 전까지도 이것이 이렇게 쉽게 설명될지 몰랐습니다.
(그림 8)에 x2를 x1의 오른쪽에 그려넣었습니다. A가 x2,y2로 이동하였을때
H옆의 -x2위치로 접선이 X축에 걸쳐지고, 이때문에 선분A2P의 길이는
(-x1)-(-x2)=x2-x1 만큼 길어집니다. 이와는 반대로 A2에 입사된 길이(X방향)는
A에 입사되 길이보다 x2-x1 만큼 짧아집니다. 길어진 부분과 짧아진 부분이 정확히
같기 때문에 포물선에 평행으로 입사된 빛은 모두 같은 거리로 촛점에 모여져서
위상이 같습니다.
(보충설명 1. 가시광선인 녹색은 1초에 550,000,000,000,000번 진동합니다.
이 빛은 1초에 300,000,000 METER 를 갑니다. 이 녹색빛이 1번 진동할때를
자로 재보니까 300,000,000/550,000,000,000,000 = 0.0000005454 METER 입니다.
10의 -10승인 0.0000000001 을 옹스트롱이라고 합니다. 그래서 위의 녹색빛이
공기중에서 1번 진동하는 길이를 5454옹스트롱이라고 합니다. 어느 한쪽의
밫이 다른 한쪽보다 5454/2 옹스트롱이 길다던가 짧은 상태로 한곳에 모아
진다면 그것은 없는것이 되지요)
이 문서는 서천동 자유게시판 05년 7월 9일자에 있는 고민(포물면의 촛점은 어떻게
광선이 모아질까)을 고민한후에 정리한것입니다.
이 문서는 공개이며 화일명은 sac_parabola050719.txt
첨부file(그림 1~8, para1.gif, para2.gif)
서천동 홍두희 2005년 7월 19일 16시 25분.
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추가
B 의 설명(길이가 같다 증명)도 빙 돌아간 것을 지금 알았습니다.
P(p,0)와 A2 (x2,y2)는 촛점과 포물선위의 한 점이기 때문에 "포물선의 작도"방법에 따라서
P(p,0)에서 A2 까지의 길이는 A2 에서 x=-p 인 준선까지의 길이와 같습니다.
x=-p인 준선은 고정이고, 입사되는 모든 직선이 촛점에 모일때는 x=-p 인 준선(입사방향에 모두 수직)
까지의 길이와 같기때문에 경로의 길이가 같습니다.
서천동 홍두희 추가 2005년 7월24일 0시21분.
